李立均：《多边形内角和》

设计意图

本课设计意图在于为了使学生能够从整体上把握知识之间的联系，教学中以三角形内角和为探究基点，以四边形内角和为探究起点，以多边形内角和为探究落脚点，体现了知识的继承、发展和引申。教学中使学生经历猜想、验证、归纳的学习过程，同时本课教学更加关注学生的数学素养，将转化思想和解决问题的策略渗透其中，不断培养学生的创新能力和解决问题的能力，使学生达到“鱼渔双收”，体现数学学科的本质。

学习目标

1. 通过自主探究、观察比较、分析交流等数学活动使学生理解多边形内角和计算公式，并能应用公式解决问题。

2．在探究多边形内角和计算公式的过程中引导学生将多边形转化为三角形，使学生深刻感悟转化的数学思想并培养学生的创新意识落实数学核心素养。

3. 通过探究多边形内角和计算公式，培养学生的数学观察能力、推理能力、归纳能力，体验数学活动充满着探索性和创造性，不断提升数学学习的兴趣。

学习重点

使学生理解并掌握多边形内角和的计算公式

学习难点

多边形内角和计算公式的探究归纳

学习准备

1. 教师：多媒体课件

2. 学生：学习卡

学习时间

40分钟（1课时）

学习过程

（一）激趣引入

师：喜欢猜谜语吗？挑战自我试一试。

形状像座山，稳定坚如山。三竿首尾连，学问不简单。

这是我们学过的哪一个图形？

生：三角形

师：对，你们猜得可真快。大家知道三角形的内角和是多少吗？还记得我们是用什么方法得出三角形内角和的吗？

生：三角形内角和是180度。（齐）

生：剪拼法

生：测量法

师：三角形内角和是180°，如果从三边形增加到四边形、五边形、甚至更多边的图形，它们的内角和又是多少度呢？今天我们就来研究多边形内角和，先来研究四边形的内角和。

【设计意图】：通过师生谈话，猜谜激趣，复习三角形内角和及其研究方法，唤醒学生的已有知识记忆，达到知识和方法的迁移，从而为后面多边形内角和的研究做好铺垫。

(二)转化探究

1.猜想

师：说到四边形，我们都学过了哪些四边形？

生：长方形、正方形、平行四边形。

师：你觉得四边形的内角和是多少？

生：四边形内角和是360°。

师：为什么这么肯定？

生：以正方形为例，因为正方形的4个角都是直角，它的内角和就是4个90度，也就是360度，所以我认为四边形内角和是360度。

师：你真会学习，猜想有理有据，表达非常有条理。

师：正方形和长方形的内角和是360度，是不是由此就说明所有的四边形内角和都是360度呢？大家来看这个四边形。（课件出示）

出示：

请孩子们互相指一指它的内角并用弧线标出来。

师：这个一般的四边形的内角和也是360度吗？你打算用什么方法研究？先想一想再和自己的同桌说一说。

学生同桌交流

汇报：

生：我可以用量角器测量出每个角的度数，然后再相加。

生：把它的四个角剪下来拼在一起。

生：我觉得是不是可以把这个四边形分成两个三角形来研究。

师：看，孩子们，你们积累了很好的数学经验，并将其应用在新的数学问题上，学习就是不断迁移不断创新的过程，在传承中发展，在发展中创新？今天我们尝试用你们想到的一种新的方法来解决问题，把四边形分割成三角形，行吗？

【设计意图】：学生前面有了对正方形和长方形特殊四边形的认知基础，所以，孩子们能够猜测出四边形的内角和是360度，出示一般四边形，抛出问题，引发认知冲突，激发学生探究欲望，从而使学生对四边形内角和的认识实现了由特殊到一般的过渡，无形中也培养了学生思考问题要全面化的思维意识。猜想方法，由经验性方法即测量法和剪拼法到转化方法，使学生的创新能力得到培养，也使学生的思维层次发展到一个新的台阶。

2.尝试操作

学生尝试操作。请孩子们拿出学习卡画一画

展示

师：把四边形分成两个三角形，现在能确定它的内角和是多少吗？

学生汇报。（重点让学生说明理由）

生：把这个四边形分成了两个三角形，那么这个四边形的内角和就是两个180度，也就是360度。

师：也就是说，这两个三角形的内角和就是原来四边形的内角和是吗？

生：是

师：你们可真棒，将来一定会成为了不起的数学家，因为你们想到了一种非常重要的方法，转化方法，把新问题转化为旧知识，将陌生的变为熟悉的，从而解决了问题。

师：孩子们，原来四边形可以连线分割成两个三角形，四边形的内角和就是所分割的两个三角形的内角和，现在，你能确定梯形的内角和了吗？平行四边形呢？大的四边形，小的四边形？为什么这么肯定？

生：它们的内角和都是360度。

生：因为它们都是四边形。

生：因为它们都是四边形，都可以分割成两个三角形。

师：那就可以说所有的四边形内角和都是——

生：360度。

师：所有的四边形内角和都一样，所有的五边形呢？六边形呢？……

生：只要边数一样，内角和就一样。

3.延伸拓展

师：好，让我们继续研究，按照你们的这种方法，四边形可以转化成两个三角形，那五边形呢？六边形呢？七边形边形呢……？请孩子们继续连线分割。

先来分五边形

学生分割

展示

学生会出现不同的分割方法

学生思考汇报，展示图形

【设计意图】：四边形因其图形特点，很容易就可以看出可以分成两个三角形，那五边形相对来说，小学生就不那么容易了，而这时，恰恰是留给了学生较大的思维参与空间，放手让学生自己分割图形，使学生带着自己原有的认知经验进入到数学学习中，这不正是对学生生命的尊重吗，同时也是学生创造力的培养。

师：孩子们，你们的小脑瓜可真神奇，居然想到了这么多的分割方法，哪一种能够很快的确定五边形的内角和？为什么？

生：第一种，因为这三个三角形的内角和就是五边形的内角和。

师：第一种方法，分出来几个三角形就是几个三角形的内角和，其他方法呢？

生：不能直接算，因为角的度数变多了。

师：如果给你们足够的时间，按照另外几种方法是不是也可以算出五边形的内角和？

生：是

师：好，其他方法放在课下研究，我们先选择第一种方法，都从一个顶点出发，去连接其他的顶点，就用这种简洁高效的方法分一分其他图形行吗？

生：行

学生动手分。

展示汇报

四边形             五边形         六边形       七边形

2个三角形         3个三角形      4个三角形    5个三角形    

…… n边形呢？

师：你还可以分几边形？分的完吗？

生：分不完

师：怎么办，我们可以用另一种数学语言来表示，字母，通常n边形来表示任意一个多边形，n就是这个多边形的边数，如果n表示多边形的边数，他所分割的三角形个数又该怎样表示呢？别急，请大家先把这些多边形的边数和分成的三角形的个数整理在表格中，然后再思考。

请学生填写表格并思考

图形边数

3

4

5

6

7

……

n

所连三角形个数

1

……

组织学生小组交流

集体汇报？重点汇报n边形所连三角形的个数是怎样想的。

生：通过观察前边的数据发现边数比三角形个数多2，所以n边形分成的三角形个数就是n-2个。

师：同学们，是这样吗？你说的可真好，老师给你点双赞，因为面对困难你没有盲目的一味向前冲，而是停下来，回过头去，观察数据得出了答案。这就是著名的数学家华罗庚爷爷提倡的“以退为进”的数学思想。退不是永远的退，退是为了更好地进。

课件出示华罗庚以退为进的数学思想。

【设计意图】：引领学生在操作思考中得出四边形内角和，从中体会到数学中的转化思想。在研究四边形的基础之上，引发学生思考，五边形、六边形等多边形会转化成几个三角形，一直到n边形，把学生的思考不断引向新的高度，促使学生主动回过头去，观察、比较、思考多边形的边数与所转化三角形个数之间得关系，从而发现规律，体会到以“退”为“进”的解决问题策略的数学思想和数学文化，不断培养学生的数学素养。

4.观察归纳提炼公式。

师：孩子们，探究的路上，不仅需要实践，更需要我们静下来思考，甚至于要退回到原来的起点，因为只有这样才能让我们眼前更明朗，方向更明晰，使我们少走弯路，更好的前进。

请同学们拿出学习卡，填表并观察。

观察表格，你发现多边形的内角和计算方法了吗？

边数

3

4

5

6

……

n

所连三角形个数

1

……

内角和

180°×1

180°×

180°×

180°×

……

180°×

学生观察汇报

师：孩子们，你们看，这些算式一样吗？

生：不一样

师：可在老师的眼中，它们都是一样的，知道为社么吗？

生：它们都是用180度乘边数减2的差。

师：真了不起，透过现象，看本质，你们不仅知其然而且知其所以然，只有这样我们的数学学习才会越走越远。

师：现在你知道怎样计算多边形的内角和了吗？

揭示方法：n边形内角和=180°×（n-2）

【设计意图】：引导学生逐步由感性认识上升为理性思考，借助统计表的形式，将图形、边数、内角和编排在一起，给学生提供了一个从整体上观察分析的依据，分散了教学难点，进而归纳概括出多边形内角和计算公式。

(三)尝试应用

1.一个八边形，它的内角和是多少度？

生：180°×（8-2）

2.一个多边形内角和是900°这是个几边形？

生：先用900°÷180°求出可以分割成几个三角形，再根据多边形边数和所分三角形个数之间的关系，用所得数加上2就可以了。

【设计意图】：在巩固环节从顺向和逆向两个角度巩固知识，使学生能够多维度理解知识，内化知识。训练学生的思维广度，有利于发展学生的智力。

(四)全课总结

师：我们是怎样得出多边形内角和计算公式的？

生：把它们转化成我们学过的三角形。

生：通过找规律，也就是多边形的边数与所分割的三角形的个数是差2的关系。

师：孩子们，你们说得很好，我们对多边形的探究结束了吗？没有，这只是一个开始，你还想知道关于多边形的什么问题？（孩子们提问）

师：孩子们，请不要停止思考的脚步，因为生活会因为你的思考、你的创新而变得精彩！别忘了，我们前面还留了课下作业呢！

【设计意图】：最终以问题结束本节课的学习，培养学生的问题意识，鼓励学生满怀好奇心地以科学的态度继续向陌生领域探索。因为爱因斯坦说过：提出一个问题比解决一个问题更重要。因为有了问题才会有探究的开始，有了问题才会使思考得以延续，才会迸发生命的创造力，展现生命的价值。