魏烨琪 ：《圆的周长》

设计意图

让学生观察三种不同规格的自行车车轮，要求他们猜想：如果三个车轮各滚动一周，哪个车轮行的路程比较长？由此引入圆周长的概念，并初步建立对圆周长与它直径关系的猜想。然后在正方形内画一个尽可能大的圆，在圆内画一个尽可能大的正六边形，启发他们用圆的直径依次比较正方形的周长和正六边形的周长，在比较中进一步认识到：圆的周长是它直径的3倍到4倍之间。在此基础上，让学生分小组测出几个大小不同的圆形纸片，通过测量和计算，初步验证猜想。接着介绍圆周率的知识，并引导学生推导圆的周长公式，应用公式解决简单实际问题。这样的设计，让学生经历了猜想、实验、发现、归纳等数学活动，积累探索学习的经验，提升数学思维水平。

学习目标

1.经历操作、猜想、测量、计算、验证、讨论和归纳等数学活动的过程，理解圆周率的含义，熟记圆周率的近似值，掌握圆的周长公式并运用公式解决相关的实际问题。

2.通过组织学生观察和实验等活动，引导学生经历“猜想-验证-归纳、概括”的学习过程，经历圆的周长计算公式的发现、探索过程，认识圆周率，培养学生分析、抽象、概括，以及发现规律的能力。

3.进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。了解祖冲之在圆周率方面的贡献，渗透爱国主义教育。

学习重点

圆的周长公式的推导过程。

学习难点

理解圆周率的含义。

学习准备

1．教师：圆规、30厘米的直尺、圆片若干、不带弹性的线若干。 

2．学生：计算器。

学习过程

一、创设情境，引出猜想

1.以学生熟悉的小黄车创设情境，引出自行车型号28型，26型，24型。

师：孩子们，大家骑过小黄车么？小黄车的型号是什么样的，你们知道么？自行车的型号有大有小，比如28型，26型，24型等等。

师：（图片）这里我选取了三种规格的自行车车轮，刚才提到的26,28等数字，其实就是车轮的----------

生：直径

师：课件出示（在生活中，人们习惯用英寸作单位来表示自行车车轮的规格，英寸是英制的长度单位，它与我们所熟悉的长度单位是可以换算的。）

师：我们一起来看，26英寸大约是66厘米，24英寸大约是61厘米，22英寸大约是56厘米。

2.提出三个车轮如果都滚动一周，哪个行驶的路程长，提出猜想。

师：请大家猜想：如果这三个车轮各滚动一周，哪个车轮行的路程比较长？

生：26英寸的。

师：你呢？

生：26英寸的。

师：孩子们，你们觉得是这样的么？我们一起来看大屏幕，眼见为实。

3.通过多媒体动画验证猜想。从车轮的周长得出“圆一周的长度”是圆的周长，圆的周长与直径有关。

师：车轮的一周是一条曲线，它滚动留下的痕迹是一条直线，那么车轮滚动一周所行路程的长度就是车轮一周的长度，也就是车轮的周长。

师：你能再说说什么是车轮的周长么？

生：车轮一周的长度就是车轮的周长。

师：我们来看车轮的直径和周长，车轮的周长与直径之间可能存在怎样的关联呢？

生：直径越长的车轮，它的周长也越长。

师：我们再次观察每个车轮，不难发现车轮的形状是我们学过的？车轮的周长，其实也就是-----?

生：圆的周长。

师：谁能来指一指这个圆的周长？（无论从圆上哪个点开始，随便走，从起点回到起点，这一周的长度，就是圆的周长）

师：这条线的长度和刚才车轮走出去的长度一样的，可测量的。

师：那么刚才我们得出的，直径越长，车轮的周长也越长，还可以说成？

生：直径越长，圆的周长也就越长。

4.抛出“圆的周长与直径到底有什么样的关系呢”这一问题的同时，揭示课题“圆的周长”同时展示学习目标。

师：也就是说圆的周长与它的直径有关！还有什么样的关系呢？这节课我们就来探究圆的周长。

【设计意图】：

引导学生从生活经验出发，借助观察、比较进行猜想：如果各滚动一周，哪个车轮行的路程比较长？考虑到学生联系生活经验不难想到“车轮直径较长时，滚动一周所行的路程也较长”，所以由对上述问题的讨论引入车轮周长的含义，学生是比较容易接受的。而在此基础上，进一步思考车轮直径与周长的关系，既是此前所提问的自然延伸，同时也有利于激发学生进一步探究的愿望。由车轮抽象到圆形，初步感知圆的周长与它的直径有关。

二、化圆为方，初步探究

1.上节课我们做过这样的练习，在正方形内画一个最大的圆，请观察正方形的周长是圆直径的几倍？

师：我们借助学过的正方形来研究圆的周长，在正方形中画一个最大的圆，仔细观察正方形的周长是圆的直径的几倍？

生：正方形的周长是圆直径的4倍

师：你能上来给大家讲讲么？

生：圆的直径和正方形的边长相等，正方形的周长是边长的4倍，正方形的周长也就是圆直径的4倍。

师：谁能再说说圆的周长是直径的几倍？

师：请大家静静的看。（课件做出动画）

师：现在我们更清晰的知道了，正方形的周长是圆直径的4倍。（板书：4倍）

师：圆的周长比正方形的周长是长一些还是短一些？

生：短一些。

师：正方形的周长是圆直径的4倍，圆的周长比正方形短，圆的周长是圆直径几倍呢？一定比4倍-----           

生：小

2.我们按着数学家刘徽的步伐继续研究，在这个圆里画一个最大的正六边形。

师：但是比4倍小的范围还很大，怎么能进一步缩小范围呢？魏晋时期的数学家刘徽给出了方法。

师：我们按着数学家刘徽的步伐继续研究，在这个圆里画一个最大的正六边形，请大家边看我画边思考，正六边形的周长是圆直径的几倍？

师：（边画边说）把圆规张开两脚，与圆的半径同宽，半径保持不变，以圆上任意一点为圆心，在圆上画弧与圆相交，再以交点为圆心，半径依然保持不变，接着在圆上画弧与圆相交，半径始终保持不变，依次画出六个点，将这些点顺次连接起来，就是一个正六边形。

师：我画完了，你想好了么？正六边形的周长是圆直径的几倍？

生：正六边形的周长是圆直径的3倍。

师：你是怎么得出的？

生：圆的半径与正六边形的边长相等，正六边形的周长是半径的6倍，就是直径的3倍。

师：表述的非常清晰，能再说一次么？说听清楚了，你也来说一说。

师：让我们来静静的看！现在我们更加清楚了正六边形的周长就是圆直径的3倍。（板书：3倍）

师：从图上看，你认为圆的周长比正六边形的周长长一些还是短一些？

生：长一些。

师：根据刚才的活动，我们得出了，正方形的周长是圆直径的4倍，正六边形的周长是圆直径的3倍，而圆的周长大于正六边形的周长，小于正方形的周长，那么请你猜一猜，圆的周长大约是它直径的几倍？

生：在三到四之间。

生：圆的周长大约是直径的3倍多一些。

【设计意图】：

在此之前，学生只经历过研究长、正方形的周长，探究圆的周长就想到借助长、正方形的周长来帮助研究，长方形的长和宽与圆直径的关系不容易找到，但是正方形的边长与圆直径的关系很容易找到，而且有前一节课的练习中在正方形中画一个最大的圆，并找到正方形和圆的直径之间关系的铺垫。观察几个图形中，学生不难发现正方形的周长是圆直径的4倍。我画正六边形的目的，是在引导孩子们明白正六边形的每条边和半径是一样长的，圆规一次次的画边其实也是在一次次的量出半径和边长相等，学生也就不难得出正六边形的周长是圆直径的3倍。观察完成后的图不难发现，圆的周长比正六边形的周长长一些，比正方形的周长短一些，所以学生在活动中可以初步认识到圆周长大约是直径的3倍到4倍之间。

三、化曲为直，合作验证

1.引出“滚动法和缠绕法”，这样做都是把曲线转化成直线，提出“化曲为直”的策略。

师：我们来验证一下是不是三倍多一些？我们需要测量出圆的周长，你有什么好办法？

生：用线量。把线绕圆一周，量出线的长度。

师：孩子，你是在用绳子缠绕，我们给它起个名字叫缠绕法，还有什么方法可以测量？

生：可以把圆在直尺上滚动一周，看看一共滚了多长就行。

师：孩子你的学习能力很强，已经可以运用刚学的知识来解决现在的问题了。圆片在滚动，它就叫滚动法。

师：刚才大家说的方法和我们书上的萝卜同学和番茄同学的方法一致，让我们一起再来静静的看：（第一种方法是用线绕圆片一周，再量出这条线的长度；第二种方法是把圆片放在直尺上滚动一周，再量出这一周所滚动的长度。）

师：现在你会测量圆的周长了么？孩子们，圆的一周是一条曲线，滚动一圈所走过的路线就变成直的了，我们很容易测量出长度。这两种方法，都是把曲线变成了--------直线，这就是我们数学中化曲为直的方法。

2.鼓励学生四人小组合作完成活动，提出测量的分工要明确，给出明确的指导。

师：孩子们，测量很重要，关系到我们算出来的结果，两个人要合作，一个人围线，一个人要压住线，滚动也要合作完成，测量结果要，尽可能的准确。

师：下面请四人小组合作，借助学具选一种你喜欢的方法进行测量，并把活动单填写完整，注意得数保留两位小数。开始行动吧！

师：观察数据的汇总，你有什么发现？

生：发现圆的周长除以直径的商保留两位小数都是3点多

（如果有学生不在3到4的数据，学生之间可以纠错，发现不仅在3到4之间，发现有小量和大量的数据，放弃小量的数据，大多数都在3.1到3.2之间）

师：我们来看大家所测圆的直径都不相同，圆的大小也就不同，但是圆的周长除以它的直径的值都在3倍多一些。

师：通过刚才的实验数据，我们验证了圆的周长是直径的几倍呢？（板贴）

生：3倍多一些（板书“3倍多一些”）

师：恭喜同学们，经历了这样一个探索的关系，一开始我们只是觉得圆的周长和直径有关系，后来我们发现他们的倍数在3到4之间，测量后发现在3.1和3.2 之间，再以我们今天的测量环境和条件我们就测不出更精确的数据了。

【设计意图】：

在这个过程中，测量圆的周长既是操作难点，也是关系到实验成败的关键。由孩子们借助已有的经验想一想测量方法，再来规范方法，给出教材直观图呈现的两种测量周长的方法：第一种方法是用线绕圆片一周，再量出这条线的长度；第二种方法是把圆片放在直尺上滚动一周，再量出这一周所滚动的长度。这样的安排既有利于学生学会具体的测量方法又能使他们从中体验“化曲为直”的策略。在此基础上，借助活动单收集实验数据，把测量得到的数据综合在一起，进行数据的分析，让孩子们明白以今天的测量环境和条件我们就测不出更精确的数据了，为引出圆周率以及圆周率的发展历程做好铺垫。

四、得出结论，渗透思政

1.自学引出圆周率，介绍圆周率的发展历程。

师：3倍多一些到底是3倍多多少呢？数学家给了我们答案，请翻开书93页，自己阅读。

师：介绍一下，从阅读中，你了解到了什么？

生：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，这个固定的数叫作“圆周率”，用字母“π”表示，它是一个无限不循环小数，π=3.1415926......，计算时一般取它的近似值3.14。

师：(课件）圆周率的由来经历了一个漫长的过程，我们来听听圆周率的发展史吧。

【设计意图】：

了解圆周率的发展历程，渗透爱国主义的教育，增强民族自豪感。

2.总结圆的周长公式

师：根据圆周率的含义，我们知道了圆的周长÷直径=π，那么圆的周长等于什么？同桌互相说一说。

生：圆的周长=π×直径（板贴）

师：（课件出示）如果用大写的C 表示圆的周长，那么周长C与直径d或半径r的关系是？

生：C=πd或C=2πr（板书写）

师：C表示？π表示一个固定的数，所以要写在d和r的前面。要想求圆的周长，我们只需要知道------？

生：圆的半径或直径就可以。

师：如果一个圆的直径是2，那么它的周长是多少呢？

师：如果一个圆的半径是1，那么它的周长是多少呢？

五、归纳总结，应用提升

师：有了圆的周长公式，回到课堂的最初，你能算出这三种车轮的周长大约各是多少厘米？每位同学选择一种车轮进行计算即可。

【设计意图】：

  回答新课导入时的问题，首尾呼应，使学生感受到数学知识从生活中来，又可以运用到生活中去。

师：下面进行当堂检测。

师：同学们，40分钟即将过去，你有些什么收获？

师：大家收获可真不少，圆周率从古代流传到现在，一直都有人在研究，如果同学们也能像我们的古人一样有勇于探索，追求真理的精神，也一定可以圆周率更加的精确！也愿大家心中求知的大树越长越高。