数学小知识（3）

奇妙的数字“9” 

众所周知，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。那么无限小数能否化成分数?  这要请我们的老朋友――9来帮助解决问题。

首先我们要明确，无限小数可按照小数部分是否循环分成两类：无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化分数，这在中学将会得到详尽的解释；无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉了吗！我们来看两个例子： 

  ⑴ 把0.4747…和0.33…化成分数。 

   想1： 0.4747…×100=47.4747…… 

    0.4747…×100－0.4747… = 47.4747… －0.4747…

          (100－1)×0.4747…=  47 

    即       99×0.4747…    =  47 

    那么          0.4747…  = 47/99 

   想2： 0.33… ×10＝3.33…  

       0.33… ×10－0.33… = 3.33…－0.33…  

             (10-1) ×0.33… =3 

         即   9×0.33… = 3 

      那么  0.33… =  3/9  =1/3 

    由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节有几位，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。  

⑵把0.4777…和0.325656…化成分数。 

想1：0.4777… ×10=4.777…     ① 

     0.4777…×100=47.77…      ② 

       用②－①即得: 

      0.4777…×90=47－4 

  所以, 0.4777… =  43/90 

想2：0.325656… ×100=32.5656…   ① 

     0.325656… ×10000=3256.56… ② 

     用②－①即得: 

    0.325656…×9900 = 3256.5656…－32.5656…

     0.325656…×9900 = 3256－32 

   所以,   0.325656… =3224/9900

由此可见, 混循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：混循环小数的循环节有几位，分母里就是有几个9,第一个循环节前面有几位小数，分母末尾就有几个零；分子是混循环小数第一个循环节及其前面小数部分所组成的数，减去第一个循环节前面小数部分的差。  

能被2和5整除的数

　 一个数的末一位数能被2和5整除，这个数就能被2和5整除。具体地说，个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。个位上是0或是5的数，都能被5整除。

　　例如：128、64、30的个位分别是8、4、0，这3个数都能被2整除。

　　281、165、79的个位分别是1、5、9，那么这3个数都不能被2整除。

　　在上面的6个数中，30和165的个位分别是0和5，这两个数能被5整除，其他各数均不能被5整除。